１ 引言
合成孔径雷达（SynthetIC Aperture Radar ，简称SAR）作为高分辨微波成像雷达［１］，是地面信息获取的重要手段，在国土测量、军事等领域有着着重要作用。为确保所设计的SAR系统能够满足各个用户的具体需求，原始数据仿真和成像处理以及图像指标的评估已经成为SAR系统研制前的必需步骤。除此之外，在SAR实时成像系统研制以及地面处理的过程中，我们同样需要大量的模拟回波数据［２］。SAR回波模拟技术能够为我们提供基本的研究手段和研究工具，在SAR的发展和应用中，具有及其重要的作用。
作为雷达与目标相对运动的直观反映，多普勒相位是SAR回波模拟的原理依据，同样也是回波模拟精度的重要影响因素。在多普勒相位计算过程中存在数值开方运算，这使得其在FPGA（现场可编程门阵列）实现中存在两种主要限制因素：其一，FPGA硬件中不存在专门的开方器件；导致了开方运算在FPGA实现中的复杂性。其二，为了保证原始数据的仿真精度及适应大斜距数据的仿真，导致SAR回波模拟对FPGA定点运算中的斜距动态范围要求大［３］。
本文针对SAR回波模拟中回波信号多普勒相位在FPGA实现中存在的限制，采用泰勒级数展开和CORDIC算法两种常用方法对其进行实现与仿真。
２ SAR回波模拟信号中的多普勒相位
SAR的空间几何关系如图１，其中SAR飞行路径的地面航迹方向称为方位方向，与其垂直的方向称为距离方向［４］。
图１ SAR的空间几何关系
SAR在运动过程中，以特定的脉冲重复周期
（Pulse Repetition Time，简称PRT）发射并接收脉冲串，雷达天线波束照射到地面以后，照射区域内的各个点目标（又被称作散射元）对入射波进行后向散射。发射信号经过目标和天线方向图的调制，成为携带目标信息和环境信息的SAR回波。
SAR的发射脉冲串一般为线性调频（chirp）信号，设定SAR的发射脉冲串：
在本文中，要求斜距的近似误差最大为1/8波长，由表格１可见，目标点到SAR平台的斜距量级为106，动态范围很大；由于FPGA内部没有专用开方器件，使得多普勒相位运算过程复杂、速度低，在此使用泰勒级数展开与CORDIC算法。
３ 基于泰勒级数展开的多普勒相位计算方法
泰勒级数是幂级数的，如果有了某一函数的幂级数展开式，则我们就可用进行近似计算，即在展开式有效的区间范围上，我们可按照已知精确度要求，利用这个幂级数展开式将该函数值近似地计算出来。
４ 基于CORDIC算法的多普勒相位计算方法
由于Xilinx的CORDIC IP核对输入输出位宽的限制要求，对于斜距计算的通用方法来说，使其变得不可取。因此我们采用结合了IP核思想的CORDIC算法，CORDIC算法是数值型逼真计算方法，其FPGA实现模块主要由各级寄存器、移位器、符号标志寄存器以及加法器组成，在硬件电路实现上只用到了位移操作和加／减操作，这大大节约了FPGA资源。
图２ 泰勒级数展开设计框图
假设SAR平台与目标点的相对位置坐标为（ｘ，ｙ，z），经过两次CORDIC 算法运算即可得出目标点到SAR平台的斜距值：
为了更方便地说明CORDIC算法，我们在此只针对sqrt1的求解过程进行详细的展开介绍。本文中，CORDIC IP核采用向量化模式，通过将任意方向的输入向量旋转一系列的预定角度最终达到与ｘ轴的对齐。故而此算法的最终结果即所有旋转角度的累加值，以及输入向量定标后的幅值（结果在ｘ分量中），同时ｙ分量的符号决定着下一次旋转的方向。在此模式中角度累加器初值为零，整个迭代运算结束后，结果为最终旋转角度［８］。于是以sqrt1为例，CORDIC算法中存在差分方程：
ｎ次旋转后最终达到与ｘ轴的对齐，此时
图３ CORDIC算法设计框图
由上图，输入信号x0，y0通过一系列移位操作与加减法操作最终得到xn，即sqrt1，同样可求出sqrt2即斜距值，最后斜距乘以波长系数４π／λ即可得到多普勒相位。
５ 仿真验证与性能分析
本文以Xilinx Virtex6sx315t为硬件平台，对两种多普勒相位计算方法进行了仿真验证与性能分析。
泰勒级数展开与CORDIC算法的斜距误差仿真结果如下图４：
图４ 斜距误差仿真结果图（左为泰勒级数展开法，右为CORDIC算法）
图５ 多普勒相位对比图（左为泰勒级数展开法，右为CORDIC算法）
图６ 脉冲压缩仿真图（左为泰勒级数展开法，右为CORDIC算法）
两种方法的性能分析包括资源消耗，FPGA时序约束，以及斜距误差对脉压精度的影响。资源消耗如下：
由上表知，较泰勒级数展开法，CORDIC算法能够节省更多的资源，甚至在乘法器资源上是泰勒级数展开法的四分。
在FPGA时序约束上，CORDIC算法最高能达到110MHz，泰勒级数展开法略高些：150MHz。
斜距误差对脉压精度的影响如下：
显然，在脉压精度上，两种方法均能满足精度要求，且泰勒级数展开法分辨率略高些。
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本文针对SAR回波模拟中回波信号多普勒相位在FPGA实现中存在的主要限制因素：FPGA硬件中不存在专门的开方器件；SAR回波模拟对FPGA定点运算中的斜距动态范围要求大。采用了两种常用的近似计算方法：泰勒级数展开以及CORDIC算法。并对其进行FPGA仿真与验证，两种方法不仅很好的解决了斜距开方运算，仿真结果同时证明了其精度有效性，并在FPGA资源消耗，时序约束，以及脉压精度上作出了具体评估与比较，在SAR回波模拟中具有良好的应用前景。
